这个学霸疑似巨额知识来源不明 第26章 概念的地基

【对於任意e＞0，存在正整数n，使得当n＞n时，有|a?-a|＜e。】

江临还在盯著屏幕上的这行字。

在电脑旁边，摆开的一个草稿本上。

最上方写著四个字。

【高等数学】

下面是一行更小的字。

【第一条纪律：不懂定义，不许做题。】

这行字是他昨晚写下来的。

写的时候很有气势。

真到执行的时候，江临才发现，所谓不懂定义不许做题，听起来像一句励志格言，实际操作起来简直像把一个习惯拿刀劈开，再用另一种方式重新缝起来。

高中阶段，他习惯题目给条件，问结论。

不会，就看例题，例题看不懂，就看答案。

答案看不懂，就抄一遍，抄一遍还不懂，就拆步骤。

拆到最后，总能找到几个熟悉的东西，比如公式，比如模型，比如图像，比如代入……

第三次的废土那九年时间里，他就是靠这种办法硬生生把自己从年级七十一名磨到了全市第一。

数学如此，物理如此，化学和生物也是如此。

可是大学数学不是这样。

大学数学上来不先给题，它先给你一个概念。

然后要求你相信，这个概念后面会长出整座森林。

极限，连续，导数，积分，级数……

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这些词摆在目录里，看起来像是一个个熟人。

导数他高中学过，积分他也见过一点。

向量更不用说，高考解析几何里天天用。

可是点进去一看，江临才发现，高中数学里那些熟悉的词，只是门口的招牌。

真正的屋子在后面，里面黑得嚇人。

他重新看向屏幕。

教学视频里，大学老师的声音不紧不慢。

“数列极限的严格定义，抓住两个量，一个是e，一个是n。e代表你允许的误差，n代表从第多少项之后……”

老师讲得很清楚。

至少语速清楚，吐字清楚，板书也清楚。

可江临听著听著，脑子还是开始往外滑。

不是走神，是抓不住。

e可以任意小。

任意小是什么意思？

小到0.1可以，小到0.01可以，小到0.000001也可以。

只要你给一个正数，我都能找到一个n，让后面的所有项都进入这个误差范围。

这句话他能复述，甚至能背下来。

可背下来没用，他不知道自己是不是真的懂。

就像一个不会游泳的人，站在岸上把蛙泳动作背得滚瓜烂熟，真下了水，照样扑腾两下就往下沉。

江临暂停视频，停在老师写完定义的那一帧。

拿起原子笔，在草稿本上重新写了一遍定义。

【?e＞0，?n∈n?，当n＞n时，|a?-a|＜e。】

写完之后，他盯著看。

一分钟之后，他把笔放下，站起身，走出石屋。

风立刻迎面吹过来。

第四次废土已经过去了十二天，天气比他第三次离开时暖一些。

废土的季节並不完全等同於地球，但经过前面十年的记录，他大概摸出一点规律。

这颗废土星球也有冷暖循环，只是周期比地球略长一些，昼夜温差更大，风更硬，雨更酸。

石屋南面，那两百平方米土地，经过九年翻耕、撒灰、绿肥、堆肥、南瓜藤和黄豆秸秆反覆回填，表层土壤顏色变暗了许多。

不是正常土地那种油润的黑，更像暗红里掺了灰褐，像一块反覆揉搓过的旧布。

里面开始有了细碎的植物残渣。

苔蘚从河床岩檐下面被他一点点移植过来，如今已经在田埂边缘长出好几片灰绿色的斑块。

像一层贴在石头上的霉。

但在废土上，这就是奇蹟。

江临走到田边蹲下，看一株黄豆苗。

黄豆苗已经长到小腿高度，叶片顏色比地球上的黄豆深一些，叶面粗糙，边缘有轻微捲曲。

第三次废土的九年里，他通过留种筛选，已经让这些黄豆適应了废土的酸性土壤、弱光和低温。

当然，说適应有点夸张。

准確地说，是死掉了大多数，剩下来的勉强能活。

江临伸手轻轻拨开黄豆根部附近的土。

根系细细密密往下扎，主根旁边掛著几个浅褐色的小瘤。

根瘤。

他第一次在废土看到这东西的时候，激动得差点把整株黄豆拔出来。

这意味著根瘤菌也能在废土环境下存活。

意味著空气里的氮，能被这些微不足道的小生命一点点固定进土壤里。

意味著这片土地不是彻底死的。

江临蹲在地边，看著那几个小根瘤，忽然想起刚才那行定义。

对於任意e。

存在n。

当n大於n之后。

全部进入误差范围。

他眯了眯眼。

如果把这片田当成一个数列呢？

第一年，土壤ph不稳定，作物產量波动很大。

第二年，產量仍然很低，但比第一年好一点。

第三年，第四年，第五年……

每一年，他都记录每平方米土豆產量，黄豆株高，南瓜坐果数量，雨水ph，土壤酸碱度，堆肥腐熟周期。

那些数据不是平滑上升的。

有一年酸雨太多，土豆烂了一半。

有一年风暴把南瓜藤吹折。

还有一年他把草木灰撒多了，几垄黄豆叶片发黄，差点烧苗。

可是从一个更长的尺度看，產量確实在靠近某个稳定值。

一开始每平方米土豆只能收一斤多，后来两斤，再后来三斤。

到第三次废土后期，部分熟化较好的地块，一平方米能收到接近四斤。

它没有无限增长，只是在逼近一个上限。

这个上限可能是废土光照，水源，土壤和作物品种共同决定的极限產量。

如果给定一个允许误差。

比如说，每平方米土豆產量距离三点八斤的误差小於零点五斤。

那么从第几年之后，后面的產量大多都能落在这个范围里？

如果要求误差小於零点二斤呢？

要从第几年之后？

如果要求误差小到零点一斤呢？

江临慢慢站起来。

风从田垄上吹过，黄豆叶子发出细碎的摩擦声。

他忽然转身回到石屋，坐到书桌前，重新拿起笔。

这一次，他没有直接抄定义。

【例子：废土土豆田產量数列。】

第一年：1.3斤/平方米。

第二年：1.8斤/平方米。

第三年：2.2斤/平方米。

第四年：2.7斤/平方米。

第五年：3.1斤/平方米。

第六年：3.3斤/平方米。

第七年：3.5斤/平方米。

第八年：3.6斤/平方米。

第九年：3.72斤/平方米。

当然，真实数据没有这么干净。

他只是为了理解，先写了一个理想化模型。

然后他在旁边写。

【a=3.8】

【e=0.5时，从第五年开始，所有產量都在3.3到4.3之间。】

【e=0.2时，从第八年开始，所有產量都在3.6到4.0之间。】

【e=0.1时，从第九年开始，所有產量都在3.7到3.9之间。】

他停了一下，然后在下面写。

【e越小，要求越严格，需要的n可能越大。】

写完这句话，他脊背有一点发麻。

不是因为他终於完全懂了。

只是门缝开了一点。

那行原本像咒语一样的定义，忽然多了一点温度。

它不再只是对於任意e存在n。

它像是在说，你想把误差限制到多小都可以。

只要这个数列真的在靠近a，那么迟早有一天，它会稳定地进入你规定的范围，再也不跑出去。

江临把这个解释写下来。

【极限不是看前面乱不乱。】

【极限是看后面能不能稳定。】

【前面可以混乱，波动，错误，失败。只要从某一个位置之后，它全部靠近目標，就叫收敛。】

笔尖在纸面上停住。

江临盯著收敛两个字，忽然笑了一下。

他觉得这个词挺適合自己。

高三前十几年，他一直乱，成绩乱，心態乱，未来乱。

第一次废土，连水都喝不上。

第二次废土，靠压缩饼乾和污染水撑到四十多天。

第三次废土，翻地翻到手掌起泡腿脚抽筋，九年里不知道失败了多少回。

可如果把他的整个人生也看成一条数列。

那么从某一个n开始，他是不是也终於开始向著某个目標收敛？

江临没有继续想下去。

他低头，在草稿本最上面写了今天的日期。

【第四次废土，第十二日。】

【任务：理解数列极限定义。】

【方法：不背定义，先找现实对应物。】

写完，他重新播放视频。

老师从数列极限讲到函数极限。

【当x趋近於x?时，f(x)趋近於a。】

然后又暂停，写了一页。

【x趋近，不等於x真的到了。】

【像我从石屋走向水坑。距离越来越小，但可以不站到水坑中心。】

【函数值趋近，是位置变化引起结果变化。】

他画了一条歪歪扭扭的线。

左边標石屋，右边標水坑，中间画了几个点。

点下面写x?、x?、x?。

越靠近水坑，空气湿度越高，地面越潮，矿物酸味越重。

如果把距离水坑中心的位置当成x，把空气里那股酸味浓度当成f(x)，那么人越靠近水坑，f(x)越接近某个值。

但你不需要真的跳进水坑，你只是在靠近。

江临知道这个例子很粗糙，还不严谨。

可它有用。

有用就够了。

他从来不是那种一眼看透本质的天才。

学习方法也一直很笨。

只是尝试把抽象的东西拖到地上，按进泥里，揉进自己的生活里。

只有这样，它才不再飘著。

上午，他学了四页，四页高等数学。

其中两页还是目录、导言和符號说明。

但他没有像之前那样焦虑了。

因为这一次，草稿纸上留下来的不是抄写的定义，而是一堆虽然笨拙但属於他自己的解释。

中午，他煮了一锅土豆黄豆糊。

说是煮，其实就是用废土石头垒的小炉灶，烧枯木和干南瓜藤，把切碎的土豆、泡软的黄豆和一点苔蘚碎末放进金属饭盒里熬。

水是酸雨处理后的水。

先用活性炭和棉过滤，再用小苏打调到接近中性，最后煮沸。

味道很差。

土豆有一股淡淡的矿物腥味，黄豆因为品种和环境原因，煮出来不够香，苔蘚更是带著挥之不去的苦。

他往里面撒了一点盐。

那点盐是从现实世界带来的，弥足珍贵。

江临端著饭盒坐在石屋门口，一口一口吃。

吃著吃著，他想起了电脑里下载好的《费曼物理学讲义》。

他本来想在一个月內把高等数学开个头，再开始普通物理。

现在看来，一个月能把极限和连续啃明白就不错了。

甚至极限和连续都未必啃得明白。

江临吃完最后一口土豆糊，拿清水涮了饭盒，把那点混著淀粉的水也喝掉。

他回到书桌前，没有继续往后看。

而是在草稿本上开了一个新栏目。

【概念本】

第一页写：【极限】

下面分成五栏。

第一栏：教材定义。

第二栏：人话解释。

第三栏：现实例子。

第四栏：反例。

第五栏：常见题型。

他先把数列极限的定义抄到第一栏。

然后在人话解释里写：【不管你要求离目標多近，只要后面足够靠后，就全都能进入这个范围。】

现实例子写：【废土土豆田產量逐年稳定。】

反例这一栏，他想了很久。

写下：【如果数列一会儿靠近a，一会儿跑远，而且永远这样，就没有极限。】

他举了一个最简单的：【a?=(-1)?】

一会儿是1，一会儿是-1。

永远跳，不收敛。

他在旁边写：【像孙明考试前一天说要努力，第二天又打游戏。状態在1和-1之间跳，没有极限。】

写完他自己都不由自主笑了一声。

石屋里没有孙明，只有风声从门缝里挤进来。

江临笑完之后，又觉得有点想那个大脑袋胖子了。

想他一边嚼辣条一边问：“老江，这题为什么选c啊？”

想他听完解释之后痛苦地抱头：“草，我就不该长两只手。”

当然，这种想念很短，短到像风吹过灯芯，一晃就过去了。

江临低下头，继续写。

下午，他开始看例题。

第一道例题：证明数列1/n的极限为0。

这道题，如果用高中思维看，太简单了。

n越大，1/n越小，当然趋近於0。

还用证明？

可大学数学要你证明，用定义证明。

江临刚开始觉得多此一举。

后来硬著头皮往下看，才明白这不是为了证明1/n会趋近0。

这是为了训练你使用定义。

题目要求：对於任意e＞0，要找到n，使得当n＞n时，|1/n-0|＜e。

也就是1/n＜e。

等价於n＞1/e。

所以只要取n＞1/e即可。

答案很短。

短到让人不適。

江临把它抄了一遍。

没懂透。

又抄一遍。

还是觉得哪里不对。

他停下来，在草稿纸上举具体数值。

如果e=0.1，那么只要n＞10，1/n就小於0.1。

如果e=0.01，那么只要n＞100，1/n就小於0.01。

如果e=0.000001，那么只要n＞1000000，1/n就小於0.000001。

所以n隨著e变化。

e不是固定的。

n也不是固定的。

別人给你多严格的要求，你就找一个足够靠后的起点。

这就是证明的核心。

江临在旁边写：【证明极限，就是接受对方任意刁难，然后给出一个足够靠后的起点。】

写完，他觉得这句话很像废土。

废土也在任意刁难他。

酸雨，重金属，风暴，孤独……

它给一个e。

他找一个n。

第一年不行，就第二年。

第二年不行，就第五年。

五年不行，就十年。

只要还没有死，只要还能继续往后走，总有一个位置，会让那些曾经不可承受的东西，变成可控误差。

傍晚的时候，太阳沉到地平线附近。

暗红色的光从石屋窗口斜斜照进来，照在草稿本上。

江临看了一眼今天的成果。

高等数学教材，推进四页。

视频，推进二十七分钟。

草稿纸，写了十九页。

概念本，完成数列极限初版。

例题，真正做懂两道。

江临没有骂自己。

他把那两道例题重新合上，遮住答案，在白纸上独立写了一遍证明。

第一道，1/n趋近於0。

第二道，(2n 1)/n趋近於2。

第二道略微复杂一点。

|(2n 1)/n-2|=|1/n|=1/n。

和第一道一样。

取n＞1/e。

证明完成。

每一个量词都没有省。

对於任意e＞0。

取正整数n，使得n＞1/e。

当n＞n时，有……

写到最后一行。

故lim(2n 1)/n=2。

江临放下笔。

屋外风声很大，屋內灯光很稳。

他忽然意识到，这可能就是他大学学习的第一块砖。

不是费曼物理，不是量子力学。

不是那些听起来能让人热血沸腾的宇宙，粒子，黑洞，时间，空间。

而是一道简单到近乎寒酸的证明题。

证明1/n趋近於0。

可这块砖如果没放稳，后面所有东西都会歪。

江临翻开笔记本，在今日记录最后写。

【第十二日。】

【高数进度极慢。】

【但今天第一次明白：大学不是更多题，而是更深的定义。】

【以后每学一个新概念，必须完成五栏：定义、人话、现实例子、反例、题型。】

【不许骗自己。】

最后四个字，力透纸背。

因为做题可以装，看视频可以装，抄笔记更可以装。

写满一本草稿纸，看起来很努力。

一天学习十二个小时，看起来很刻苦。

可到底懂没懂，只有自己知道。

江临以前最擅长骗自己。

说什么这道题我差不多会了，说什么这个知识点我回头再补，说什么这次只是粗心，说什么只要再努力一点，成绩就会上去……

还是废土教会了他，现实不会因为你的自我安慰而放过你。

没水就是没水，没粮就是没粮。

土壤ph值不对，种子就是会烂。

你说自己努力过，没有用，你得真的把水处理到能喝。

真的把土翻鬆，真的让黄豆长出根瘤。

学习也一样。

你说自己懂了，没有用。

你得能不用答案写出证明，能给孙明讲明白，能给十年前的自己讲明白。

夜色彻底压下来。

江临合上电脑，把今天写满的草稿纸按顺序压在石块下面，防止被风吹散。

又检查了一遍蓄电池电量。

太阳能板今天充电情况不错，白天有六个小时有效光照，电量还能支撑电脑使用两小时，露营灯使用到午夜。

但他没有继续熬。

大学课程不是高中衝刺，靠熬夜硬顶没有意义。

尤其是在废土，身体是唯一的本钱。

他走出石屋，最后巡视了一遍田地。

土豆叶片在夜风里微微晃动。

南瓜藤趴在田埂边，像一条条沉默的辣条。

黄豆苗整齐地立著。

远处乾涸河床在黑暗中只剩下一道更深的阴影。

江临站在田边，忽然用英语低声说了一句。

“i am converging.”

他说完，停了一下，自己纠正。

“no.”

“i am trying to converge.”