这个学霸疑似巨额知识来源不明 第28章 高等数学，第一阶段闭环

制度这种东西，写在纸上的时候，总是显得格外可靠。

江临一开始甚至有一种错觉。

好像只要把时间表写出来，那份被他从网上扒下来的北大物理学院本科生培养计划，就已经被他完成了一小半。

当然，他心里也清楚，自己不可能真正復刻北大课堂。

没有老师，没有习题课，没有同学討论，也没有实验室。

他能拿到的，只是公开培养方案，几十套能下载到的教材电子版，不成体系的公开课视频，以及一堆不知道讲得好坏的网课资源。

所谓照著北大物理系走，本质上只是给自己找一条足够高，足够硬，足够不会骗自己的路標。

人总是这样。

制定计划的时候，仿佛自己已经完成了计划。

把六点起床写到纸上，就好像明天早上六点真的不会赖床。

把高等数学写到上午八点，就好像那本四百二十八页的教材已经自动变薄了一点。

把復盘与时间胶囊写到晚上七点，就好像未来的三十岁、四十岁、六十岁的自己，已经站在远处向他点头。

可第二天早上六点，废土用一种极其朴素的方式，把江临从这种错觉里拽了出来。

他没有听见闹钟。

不是闹钟坏了。

是他在闹钟响起之前，就被冷醒了。

石屋无论怎么糊，都总是会漏风。

夜里的风顺著不知道哪里的缝隙钻进来，像一把一把细小的銼刀，銼著他的头和脸。

江临睁开眼的时候，屋里黑得像一口井。

他躺在睡袋里，第一反应不是起床，而是想把脑袋重新缩回去。

太冷了，身体根本不想动。

手指从睡袋里伸出去的一瞬间，就像伸进了一盆冰水里。

如果是在现实世界，今天大概可以赖五分钟。

五分钟之后再五分钟。

反正有老妈在厨房里做早饭，有老刘在学校里巡班，有早读铃在楼道里一遍遍催命。

可是废土没有这些。

废土只会安静地看著他烂掉。

江临在黑暗里睁著眼，盯著什么也看不清的石屋顶棚，足足躺了三分钟。

然后他骂了一句很低的脏话，咬著牙从睡袋里钻了出来。

这天早晨，他没有像计划表上写的那样六点整开始农田维护。

他是六点二十七分才走到田边的。

风从乾涸河床方向吹过来，带著酸雨后留下的矿物味。

土豆叶片上蒙了一层泥尘，黄豆苗也有些发蔫，南瓜藤缩在田埂边，像几条冻僵了的蛇。

江临蹲下去，用手指摸了摸土壤表层。

硬，冰凉。

像一块还没彻底醒过来的旧铁。

他拿起小铲子，一铲一铲把排水沟边缘被风吹回去的土重新清出来，又检查了几处用石片压住的防风网。

等他回到石屋时，天边才露出大片暗红色的光。

时间已经是七点五十二。

距离上午八点的高等数学，只剩八分钟。

江临站在门口，看了看自己满是泥尘的手，又看了看墙上的作息表。

这一刻，他第一次明白，制度不是写给热血沸腾的时候看的。

制度是写给不想动，不想学，不想活得那么用力的时候看的。

所以他没有改时间表，没有给自己找藉口。

他只是把泥手洗乾净，喝了一口温水，坐到石桌前，翻开教材。

当然，真正顶尖大学的物理系不会把数学基础理解得这么简单。

数学分析、线性代数、解析几何、常微分方程，哪一样都不是轻轻鬆鬆能跨过去的门槛。

可他现在连站稳都困难。

对一个普通高中出身，没有老师，只能靠电子版教材和公开视频自学的人来说，《高等数学》不是终点，而是他能摸到的第一根扶手。

第一个上午，他只看了两页。

其中一页还是上一章已经看过的函数极限定义。

他拿出概念本，在极限那一页的后面新开了一栏。

【数列极限：往后走，找n。】

【函数极限：往里收，找δ。】

【共同点：別人给误差，我给控制。】

【区別：一个控制序號，一个控制距离。】

写完这几行，他又补了一句。

【不要因为它们长得像，就以为自己懂。】

第二十三日，江临被导数重新按回地表。

高中阶段，导数他学过。

求导公式背过，单调性做过，切线方程也写过。

在高考题里，导数是武器，是压轴题里那把最锋利也最嚇人的刀。

可是大学教材里的导数，跟他记忆里那把刀不太一样。

不是一上来就让你求某个函数的最大值，也不是让你证明某个不等式。

它先问你一个更冷的问题。

什么叫某一点处的变化率？

什么叫局部线性逼近？

什么叫在足够小的邻域里，一条曲线可以被一条直线近似替代？

局部，线性，逼近。

每个字他都认识。

连在一起，他又不认识了。

这天上午，江临在石桌前坐了四个小时，只做了一件事。

画切线。

他在纸上画曲线。

画得很难看。

有的像弯曲的藤蔓，有的像废土上被风啃出来的沙脊，有的像水坑边缘那道不规则的裂纹。

然后他在曲线上选点。

一点一点画切线。

同一个函数，不同位置，切线方向不同。

同一个点附近，把曲线放大，再放大，再放大，它似乎真的越来越像一条直线。

画到后来，手写板上到处都是歪歪斜斜的线，像一片被风暴吹倒的枯树林。

他会算答案。

至少照著例题，他能算出答案。

可他不敢说自己懂。

下午巡田的时候，江临没有立刻回屋看普通物理。

他站在田埂边，看著温度计上的数字一点点升高。

早上六点，十一度。

上午八点，十四度。

十点，二十度。

正午，二十六度。

太阳一点点爬高，废土表面的温度也一点点变化。

以前他记录这些数字，只是为了判断什么时候浇水，什么时候加盖防风膜，什么时候避开最强的光照。

那天，他盯著那串温度，忽然意识到一件事。

温度本身不是导数。

温度变化的快慢，才是。

同样从十一度升到十四度，如果用两个小时，那是一种变化。

如果用二十分钟，那就是另一种变化。

同样是从石屋走到水坑，走得慢，脚下的泥土一点点变湿。

走得快，潮气和酸味几乎是迎面砸过来。

位置不是重点，位置如何变化，才是重点。

江临站在田边，风吹得嘴唇发乾。

他忽然转身跑回石屋，在草稿纸上写下。

【导数不是位置】

【导数是变化的速度】

写完，他看了两秒，又觉得不够。

於是下面补了一行。

【导数不是我现在在哪里，而是我正在怎样离开这里。】

他后来才意识到，普通物理里所谓速度、加速度，其实早就站在这里等他。

位置对时间的变化率是速度，速度对时间的变化率是加速度。

高中时他背过这些话，可直到这一天，他才第一次觉得，那些公式不是印在书上的结论，而是从变化里长出来的骨头。

那天晚上的时间胶囊里，他写下第一条真正难看的记录。

【会求导，不等於懂导数，不要骗自己。】

第五十二日，他开始学积分。

这一次，江临没有再犯同样的错误。

他没有一上来就背公式。

也没有急著去看那些带著长长根號和三角函数的例题。

他先走到农田边，把一块地分成许多窄窄的条。

每一条都不完全规则。

有的宽一点，有的窄一点，有的边缘被风蚀啃掉了一块，有的地方因为石头太多，根本不能算有效耕地。

如果用一个长方形去估，误差太大。

如果切成十块，准一点。

切成一百块，更准一点。

如果切到最后，每一小块都小到几乎可以看成规则形状，再把它们全部加起来呢？

他甚至用捲尺量过几垄地的宽度，把不规则边缘粗暴地切成一段一段，再用近似梯形去估。

算出来的数字当然不准。

田埂不是標准曲线，风蚀缺口也不会老老实实长成教材里的图形。

可那一刻他忽然明白，积分从来不是因为世界规则才有用，恰恰是因为世界不规则，人类才需要这种笨办法。

江临蹲在田边，拿著一根枯枝，在地上画了一上午。

画到最后，他看著那些密密麻麻的小条，忽然笑了。

积分不是神秘符號。

积分是承认世界不规则，然后用足够多足够小的规则碎片，把它重新拼起来。

那天以后，石屋墙上多了一句话。

【微分是拆开。】

【积分是合上。】

江临盯著这句话看了一会儿，觉得它太漂亮了。

漂亮到像是在骗自己。

於是又在下面补了一句。

【拆得足够细，合得才足够准。】

第七十九日，他第一次用积分的想法估算太阳能板一天的有效发电量。

清晨，功率很低。

上午，功率升高。

正午，达到峰值。

下午，隨著太阳偏斜，一点点落下去。

以前他只看蓄电池最后多了多少电。

今天多了百分之十七，明天多了百分之二十一，后天阴天，只多了百分之六。

这些数字对生存很重要。

但它们只是结果。

现在，他开始画曲线。

横轴是时间。

纵轴是功率。

清晨那一段贴著底，像一条刚醒来的蛇。

上午慢慢抬头。

正午鼓起一个不太规整的峰。

下午又一点点塌下去。

曲线下面那块不规则的面积，就是这一天真正落进蓄电池里的电。

他没有真正的功率记录仪，只能每半小时看一次控制器上的瞬时功率，再把这些点连成一条粗糙的折线。

清晨六点半一次，七点一次，七点半一次。

每两个相邻时间点之间，他都用一个梯形去估。

底是半小时，高是前后两个功率读数的平均值。

一天二十多个梯形加起来，得到的就是一个粗糙到不能再粗糙的发电量估计。

后来他把这个数和蓄电池电量变化一对，发现误差最大的那几天，往往不是阴天，而是正午太阳太毒，太阳能板过热，实际效率掉得厉害。

江临画完那张图，盯了很久。

然后在旁边写。

【电不是一下子来的。】

【知识也不是一下子来的。】

【都是一点一点积出来的。】

这句话有点矫情。

他原本想划掉。

可笔尖悬在纸上停了一会儿，最后还是放下了。

人在废土待久了，应该允许自己偶尔矫情一把。

第一百三十六日，江临被级数打崩了一次。

那天风很大。

石屋门缝里灌进来的沙尘，把草稿纸边缘染成暗红色。

江临盯著教材上的无穷级数，看了整整两个小时，脑子里只剩下一个念头。

为什么已经有了极限，有了导数，有了积分，还要再来一个无穷求和？

无穷这两个字本身就让人烦躁。

它不像一块田，翻完就是翻完。

也不像一顿饭，吃完就是吃完。

它像废土的地平线。

你走过去，它还在那里。

你再走，它还在那里。

你以为自己已经靠近了终点，可终点只是换了一个位置继续看著你。

那一天，他没有完成计划。

上午四个小时，他只看懂了两页。

下午物理也没学进去。

力学第一章写著质点运动，可他看著那些速度，加速度，位移公式，只觉得它们像一堆在纸上爬行的虫子。

晚上復盘时，他盯著教材看了很久。

按照原计划，他应该写今天的收穫。

部分和，收敛与发散，比较判別法，比值判別法，根值判別法，交错级数判別法。

只是每一种判別法单独看，他都觉得自己像是懂了。

可题目一换，他立刻不知道该先伸哪只手。

有的级数长得像该用比值判別法，算到一半却卡在极限上。

有的看起来能比较，却找不到那个合適的参照对象。

有的明明项越来越小，最后却依然可能发散。

最噁心的是，他不能再像高中那样靠题型直觉硬冲。

级数不吃这一套。

於是他什么有用的东西都写不出来。

最后只写了一句话。

【今天输了。】

写完这三个字，他把笔放下，坐在石屋门口，看著天一点点黑下去。

废土没有人安慰他。

不会有人说你已经很努力了。

不会有人说慢慢来。

也不会有人说你很棒。

废土只会把风吹进领口，把夜里的冷一点点渗透骨头。

远处乾涸河床在黑暗里只剩下一道更深的影子。

田里的土豆叶被风压低，又慢慢抬起来。

江临坐了很久。

久到手指冻得有些发木，才重新回到石屋。

第二天早上六点，他照样起床。

照样去看土豆苗。

照样检查水坑边的过滤装置。

照样把昨天夜里被风吹歪的南瓜藤重新压好。

照样坐回石桌前。

他在昨天那句【今天输了】下面，又写了一行。

【但比赛没有结束。】

然后重新翻开级数那一章。

后来，级数没有变简单。

只是江临渐渐不那么怕它。

他开始理解，所谓无穷求和，並不等於混乱。

有些无穷会爆炸，有些无穷会收敛。

有些东西看起来永远加不完，可它们最终会被关进一个有限的范围里。

这很像他自己。

第一次废土，他连一天一夜都撑得狼狈。

第二次废土，他靠压缩饼乾和水熬到物资耗尽。

第三次废土，他用九年把两百平方米红土翻成勉强能活的田。

第四次废土，他坐在石屋里，和一本高等数学死磕。

他的人生看起来也像一串乱七八糟的项。

前面混乱，失败，波动，甚至毫无规律。

可只要还能往后走，就不算发散。

第二年春天，江临翻开《高等数学（下）》。

多元函数比他想像中更適合废土。

因为废土从来不给他单变量问题。

土豆减產，不一定是缺水。

可能是酸雨，可能是光照，可能是温度。

可能是草木灰撒多了，可能是种子退化。

可能是地下水里的某种矿物浓度突然升高。

在现实世界的高中题里，题目总是乾净的。

给你条件，问你答案。

可废土不是。

废土把所有变量一起扔到他脸上。

水分在变，温度在变，土壤在变，种子在变，他自己的体力和判断也在变。

有时候，他明明按照前一年成功的办法去做，收成却还是差了一截。

有时候，他只是提前两天排水，某几垄土豆反而活得更好。

有时候，一场酸雨下来，南瓜叶片边缘焦黄，他以为完了，结果半个月后新叶又重新长出来。

现实世界从来不是一道单变量题。

於是江临第一次真正喜欢上了偏导这个东西。

不是因为它好算，而是因为它诚实。

它承认世界复杂，也承认人一次只能看清其中一个方向。

固定其他变量，只看水分变化对產量的影响。

固定水分，只看土壤酸碱度变化。

固定酸碱度，只看光照。

当然，废土不是实验室。

他不可能真的把其他变量全部固定住。

没有標准土样，没有重复组，没有精密传感器，甚至连每一场酸雨里的矿物成分都不知道。

他能做的，只是一种笨拙的田间近似，今年只改浇水频率，其他做法儘量不动，明年只改草木灰用量，再把產量、叶片状態、病斑数量和土壤手感一项项记下来。

这不是严格实验。

可对他来说，这已经是从混乱里往外抠规律。

而且近似是人类面对复杂世界时，给自己爭取到的第一块立足点。

这天晚上，他在概念本上写。

【多元函数：承认世界不止一个原因。】

【偏导：暂时假装其他东西不变，先看清一个方向。】

【这不是现实的全部，但这是理解现实的第一步。】

第二年冬天，他第一次学到重积分。

那天雪下得很小。

准確地说，也许不能叫雪。

废土上落下来的东西，介於冰粒和灰尘之间，打在石屋顶上，发出细碎的沙沙声。

江临坐在屋里，看著教材上那些二重积分，三重积分，脑子里忽然浮现出自己那片农田。

单积分像沿著一条线走，二重积分像铺开一片地，三重积分像把空间也切成一块一块。

他忽然觉得数学有一种近乎残忍的野心。

它不满足於计算一条路，它要计算一片田。

还要计算一团空气，一块岩石，一个水坑，一整个被变量填满的世界。

第三年春天，江临学曲线积分和曲面积分。

那几章他学得极慢。

慢到他一度怀疑自己是不是又回到了刚接触e-δ的时候。

路径，方向，通量，环流。

每一个词都像长了刺。

他试著用废土理解它们。

风穿过石屋门口，是一种通量。

水沿著排水沟流走，是沿路径的积累。

太阳光落在倾斜的太阳能板上，不只是照到这么简单，还和角度有关。

有些东西不是看它在某一点有多强，而是看它穿过一整片面，沿著一整条路，累计造成了什么。

他学得很痛苦。

但这种痛苦和第一年不一样。

第一年的痛苦是恐慌，是看不懂，是怀疑自己根本没有资格打开这本书。

第三年的痛苦更像负重。

他知道自己走得慢，也知道自己確实在走。

第三年冬天，石屋的墙已经快贴不下纸。

概念本写了七册。

第一册的字跡最大，也最用力，像一个刚拿起武器的人，恨不得每一下都砸出声响。

第三册开始，字变得稳定。

第五册之后，废话明显少了。

到了第七册，他已经很少写我终於懂了。

他只写。

【此处仍需回看。】

【三个月后复查。】

【可用於普通物理电磁学部分。】

【和线积分、通量概念有关，暂时埋鉤子。】

【不要急著宣布胜利。】

他不再轻易宣布自己懂了。

这本身或许也是一种进步。

这几年里，普通物理他並不是一点没碰。

只是每一次翻开，都会被自己的数学短板逼回来。

看到速度和加速度，他知道要回去补导数，看到功和能量，他知道要回去补积分，看到电场、磁场、通量，他知道迟早要面对曲线积分和曲面积分。

只是一次又一次发现，自己过去所谓的会做题，很多时候只是会把公式摆到正確的位置。

事实上，高等数学也没有被他征服。

江临后来很討厌征服这个词。

人怎么可能征服数学？

他只是被它反覆殴打之后，终於学会了站稳，学会了护住要害，学会了在下一拳打过来的时候，不再只会闭眼。

第四年夏天，他开始做第二轮。

第一轮看教材，第二轮做题。

这一次，痛苦换了一种形式。

看书时，他可以安慰自己，慢一点没关係，至少在理解。

做题时，错就是错，算不出来就是算不出来。

证明写不下去就是写不下去，没有任何余地。

【误把必要条件当充分条件。】

【忘记检查定义域。】

【极限交换条件不满足。】

【积分换元后上下限没变。】

【此处属於机械抄例题，没有理解。】

……

第五年秋天，第一场冷风越过乾涸河床，吹进石屋。

那天清晨，他照常六点起床。

农田里，土豆叶子被风压低，又慢慢弹起来。

南瓜藤趴在田埂边，几只乾瘪的南瓜藏在叶片下面。

黄豆荚已经干了一半，轻轻一碰，就发出细碎的响声。

江临检查完田地，洗了手，回到石屋。

《高等数学（上）》和《高等数学（下）》。

两册的电子版已经被他翻了不知道多少遍。

笔记堆在石桌下方，用麻绳扎成几摞，像一块块砖。

他坐下来，翻开最后一章的最后几道复习题。

没有什么戏剧性的困难，也没有突然出现一道把他卡死三个月的终极大题。

只是几道综合题。

极限，偏导，重积分，级数，曲线积分。

知识点交叉在一起，像几条水流在低洼处匯合。

江临写得很慢。

每一步都检查，每一个条件都重新看。

上午八点开始，十点四十六分，他写下最后一行。

证明完毕。

屋外风还在吹，屋內很安静。

没有欢呼。

也没有像曾经幻想过的那样，激动到在石屋里来回踱步。

那一瞬间，他想起第一次看到e时的茫然。

想起第一次证明1/n趋近於0时，那种寒酸却郑重的成就感。

想起被导数按在地上摩擦的下午，想起对著积分骂人的那页纸，想起级数那天写下的【今天输了】。

也想起第二天早上的【但比赛没有结束】。

原来所谓学完，並不是某一刻突然变得无所不能。

不是合上书之后，整本书都像清水一样在脑子里流动。

不是从此所有题一眼看穿，所有概念隨手拈来。

学完只是意味著，他终於把这片荒原亲自走了一遍。

哪里有坑，哪里有坡，哪里会迷路，哪里需要回头看，他都留下了脚印。

有些地方他仍然不熟，有些定理再隔几年可能还会忘。

有些证明现在能写出来，换个形式照样会卡。

可这一次，他不再站在门外。

他终於进来了。

江临翻开时间胶囊，在最后一页写下。

【高等数学，第一阶段闭环。】

写完，他停了很久，又补了一句。

【不是全部掌握，只是教材主线和第一轮题目终於闭环。】

笔尖落下的时候，江临笑了起来。

从今天开始，力学、电磁学、热学……

那些曾经像远处黑山一样压在天边的东西，终於不再只是黑影。

他还看不清所有山路，甚至连第一座山真正的高度都还没有量完。

但他已经有了一双能走山路的脚。

现实里的大学生也许一年就能学完的內容，被他硬生生拖成了五年。

这听起来很慢，慢到近乎愚钝。

可现实里的大学生不需要每天修排水沟，不需要维护太阳能板，不需要在酸雨和冷风里保住两百平方米农田，也不需要独自面对没有人说话的荒原。

更重要的是，他不是一个天才。

他只是一个把不会，忘记，误解，重来，全都硬塞进时间里的人。

下午一点，江临决定重新翻回普通物理的第一页。

不是从头开始，是回去验尸。

他要看看，过去五年里，自己到底有多少地方只是会做，而不是真懂。