这个学霸疑似巨额知识来源不明 第33章 量子笔记

第二十一年春，江临第一次打开量子力学文件夹时，心里並没有太多恐惧。

他以为自己已经习惯了难。

高等数学难过，普通物理难过，线性代数难过……

每一门课刚开始都像一面墙，冷硬，平直，没有门。

可这些年他已经摸出了一点方法。

不要急著撞，先沿著墙走，找到裂缝，找到门缝，找到能把概念拖进废土的地方。

极限被他拖进了土豆產量，导数被他拖进了石屋冷却，积分被他拖进了太阳能功率曲线，矩阵被他拖进了农田状態，拉格朗日方程被他拖进了风力提水装置……

所以量子力学也应该一样。

再难，总有入口。

至少刚开始，江临是这么想的。

他坐在十五平方米的石屋里，手边放著一杯温水。

水是上午刚煮过的，带一点过滤木炭留下的味道。

炉灶里的火已经压低，太阳能板还在外面接著雨后的冷光，控制器屏幕上的输入功率不高，但足够支撑电脑开一段时间。

电脑屏幕上，是量子力学第一章。

黑体辐射。

光电效应。

波粒二象性。

江临慢慢往下看。

最开始，他自我感觉还好。

黑体辐射，经典理论解释不了，普朗克引入能量量子。

光电效应，爱因斯坦解释，光是一份一份的，e=hν。

江临对这些没有太大障碍。

太阳能板就在外面，光变成电，他靠它活了二十多年，光能一份一份打进半导体这件事，在他的直觉里有一个粗糙的落脚点。

他在概念本上写。

【光电效应：像太阳能板一样，光一份一份交出能量。】

写完，觉得自己已经理解了。

继续往下。

德布罗意物质波，电子也有波动性。

这里他皱了皱眉，但还没停下。

量子力学第一章就这样被他翻过去了。

他合上电脑，觉得难是难，但没有传说中的那么玄。

真正的麻烦，从他第一次做题开始。

那是第二十一年秋天。

他从一本离线题库里找到了量子力学基础习题，准备检验一下自己的理解。

第一题，算光电效应里逸出电子的最大动能。

他提笔，代公式，写出答案。

翻到解析，答案对了。

第二题，还是光电效应。

题目把频率和光强换了个问法，问在入射光频率不变的情况下，增大光强，逸出电子的最大初动能会不会变。

江临把笔帽咬在嘴里，感觉还不错。

第三题，给一个一维无限深势阱，让他写出粒子的波函数和归一化係数。

江临翻回教材，看了一眼例题。

形式他认识。

正弦函数。

边界条件。

n等於1、2、3。

他照著记忆写下去，先把波函数写成了asin(nπx/a)。

写到归一化係数时，他停住了。

a是多少？

他记得好像是根號什么。

根號二分之一？

根號二除以a？

还是根號二除以根號a？

他翻了一下例题，才知道应该是根號2/a。

这还只是第一处。

后面题目问n=1和n=2的能量差，他又下意识以为能量是一倍一倍往上加。

翻到解析才发现，能级和n^2有关。

n=2不是n=1的两倍。

是四倍。

江临把笔帽咬得发白。

明明每一步都在教材里。

明明例题刚看过。

可换成习题，他就像把一筐零件倒在桌上，知道它们都属於同一台机器，却不知道先拧哪颗螺丝。

最后他对著解析，把整道题重新抄了一遍。

抄完时，感觉又懂了。

第二天重做，归一化係数还是写错。

……

第五题时。

题目问：某粒子处於叠加態，测量能量，得到第一激发態的概率是多少？

江临盯著这道题看了一会儿，感觉有点模糊，但好像知道要怎么做。

他开始写，写了一半，对不上，划掉。

又重写，还是不对。

他翻回教材，把叠加態那一节看了一遍。

看完，觉得自己懂了，再回来做题。

还是不对。

他不知道到底哪里错了。

概念好像有，步骤好像也有，但就是写不出答案。

最后他把解析翻出来，对照著把步骤重新抄了一遍，感觉：“哦，原来是这样。“

然后去做下一题。

这种看解析恍然大悟，过几天遇到类似题还是不会的循环，贯穿了他最初三年的量子力学学习。

第二十二年，江临开始认真看叠加態。

他看了很多遍。

每一次看完，他都觉得自己懂了。

叠加態，就是粒子同时处於多个状態。

他在概念本上写。

【叠加態：粒子同时在好几个地方，测量之后坍缩到一个地方。】

写完，满意地合上本子。

他觉得这个理解很直观。

粒子同时在好几个地方，就像，他想了想，就像一颗种子还没决定要往哪个方向发芽，等到你去看它，它才固定下来。

他觉得这个类比不错。

於是他把这个类比也写进概念本，旁边还画了一颗发芽的种子。

然而这个理解是错的。

错在哪里，他当时完全不知道。

他甚至用这个同时在好几个地方的图像，成功地解释了好几道选择题，让他更加確信自己懂了。

直到第二十四年，他做到一道关於量子態叠加係数的计算题，怎么也对不上，被迫把叠加態从头学了一遍，才隱约感到哪里不对劲。

不是粒子同时在好几个地方。

不是这个意思。

但他说不清楚到底是什么意思。

他把不同教材的表述拿出来对比。

一本说量子態的线性叠加。

一本说每种本徵態有对应的概率幅。

一本说测量结果是隨机的，但概率可以精確预言。

这些表述他都能看懂每个字，但拼在一起，总有一种微妙的脱节感。

就像他明明认识所有零件，却拼不出整台装置。

他在概念本上划掉了那颗发芽的种子，写了一句话。

【叠加態不是同时在好几个地方，但是什么，我还不知道。】

这句话写完，他感觉很不舒服。

不是因为不懂本身。

是因为他之前一直以为自己懂了。

第二十四年到第二十六年，江临反覆在一个地方卡壳。

波函数到底是什么？

他知道波函数是一个数学对象，知道它的模方给出概率密度，知道薛丁格方程描述它的演化。

这些他都能背出来。

但有一种感觉，像隔了一层薄膜，就是捅不破。

他试图把波函数拖进废土。

第一次，他把波函数比成蓄水坑里的水位分布。

某处水多，粒子就容易出现在那里。

他觉得这个类比挺好。

但过了一段时间，他做题时发现这个类比帮不上什么忙，反而有时候会把他带偏。

他把这个类比划掉了。

第二次，他试图把波函数比成气象预报里的降雨概率分布。

某个区域降雨概率高，粒子就容易出现在那里。

他又觉得这个类比不错，在概念本上写了半页。

过了几个月，他在一道干涉条纹的题目上又卡死了。

降雨概率不能叠加出干涉，但波函数可以，因为波函数是复数，有相位。

他把这半页划掉了。

第三次，他乾脆不找类比了。

他就盯著波函数的数学形式看。

复数，模，相位，叠加，內积，期望值……

这些东西他都学过，但量子力学把它们以一种他不熟悉的方式用在一起。

他每次以为自己快要抓住什么，一做题又发现没抓住。

这种感觉像什么？

像用手指去捏一团水。

手指碰到，水散了，手里什么都没有。

他在概念本上写。

【我不知道波函数是什么。】

【我知道它的数学形式，知道它怎么用，但就是不知道它是什么。】

这句话写完，他想起来学高中物理的时候，老师说场是什么，先不管，会用就行。

他以为当初自己没管电场到底是什么，结果也好好地用了很多年。

也许波函数也一样。

也许不是每个东西都需要他弄清楚它是什么。

他把这个想法记下来，感觉鬆了一点。

然后把下一道题翻出来，继续做，又做错了。

第二十六年冬，江临第一次暂停量子力学整整两个月。

不是计划內的休息，是被迫停下来的。

因为他发现自己陷在一种很奇怪的状態里，看的时候有感觉，放下来什么都剩不下。

他总结不出来是什么原因，也没法分析自己哪里出了问题。

他只是某天翻开量子力学，呆坐了一个小时，然后关掉电脑，去修石屋西侧的排水沟了。

此后两个月，他干別的。

倒不是刻意迴避。

他想起来的时候，只有一种模糊的、说不清楚的不舒服。

像一道题做错了，但不知道错在哪里。

第二十七年春天，某个夜里，江临被一个梦惊醒。

梦里，他回到了十八岁那年。

不是废土。

是现实世界的清晨。

天还没完全亮，屋里有一点灰蓝色的光。

他坐在床边，看见眼前那个莫名出现的倒计时。

数字一秒一秒往下跳。

他不知道那是什么。

不知道归零后会发生什么。

不知道自己会去哪里。

他醒来时，炉灶已经灭了。

石屋里很冷。

挡风帘垂在门后，南墙小窗封著夜挡板。

外面风停了，有一种近乎空旷的安静。

江临躺在睡袋里，睁著眼睛，看了很久屋顶。

然后，垂死病中惊坐起一般，突然爬起来把量子力学重新打开。

他说不清楚为什么。

可能只是睡不著，需要找点事情做。

他从叠加態那一节开始看，什么感觉都没有，读到一半，把电脑关掉，继续睡了。

但从那之后，他开始重新来。

第二十七年到第二十九年，江临做了一件以前没做过的事。

他开始重新做题，把以前做错的题全部找出来，一道道重新啃。

啃的时候追著问一个问题：我上次到底为什么错了？

这件事比他想像中难得多。

有的题，他以为自己当时只是计算失误，仔细看才发现，自己根本就搭错了框架。

有的题，他发现自己套了正確的步骤，但说不清楚每一步在做什么。

有的题，他发现自己用了一个类比，类比把他带偏了，但他之前没有意识到这一点。

发芽的种子那个类比，他在错题本里发现了它的影子。

那个类比让他把叠加態的係数当成了在各个位置的概率，而不是各本徵態的概率幅。

这两件事差一个字，但本质上差得远。

他在错题本里写了一行字。

【这道题错，是因为发芽的种子。】

他觉得有点荒唐，但確实是这样。

就是这颗两年前画在概念本上的种子，悄悄地把他带偏了两年。

第二十八年，江临开始对我懂了这个感觉產生怀疑。

以前，他读完一节，感觉懂了，就合上电脑，去做別的。

现在，他每次感觉懂了，都会逼自己再做一道题。

通常，这道题会告诉他他没懂。

他慢慢摸出了一个规律。

他有两种懂。

一种是能把教材的句子换个说法复述出来的懂。

一种是遇到新题，知道该从哪里下手，能做对的懂。

这两种懂，相差很远。

他在概念本上写。

【题也不能全信，但不会做题，基本就是没懂。】

这句话看起来很朴素，但江临花了將近七年才把它真正当成原则。

第二十八年夏，他终於把波函数的东西基本理顺了。

不是因为哪一天突然开窍。

是某一次做完一道计算本徵值的题，他发现自己做对了，而且做的时候没有那种模糊的不安。

他知道自己在算什么，知道每一步为什么这么写，知道结果意味著什么。

这个感觉，和以前套公式得出答案不一样。

他说不清楚哪里不一样，只是感觉稳一些。

像以前站在泥地上，现在站在石头上。

不是飞起来，就是稳一点。

他翻开概念本，找到那句我不知道波函数是什么。

在下面补了一行。

【第二十八年：仍然说不清它是什么，但知道怎么用它了，这大概是我目前能达到的程度。】

第三十年，他才开始真的去碰双缝实验和测量的问题。

以前他也看过这部分，但看不进去。

不是內容太难，是他的底层工具还没到位，看进去也是假懂。

现在工具稍微有一点了，他才发现这块內容有多难咬。

他在双缝实验这里卡了將近一年。

不是卡在数学上。

数学他能跟著算。

是卡在一个问题里：电子到底走了哪条缝？

他知道正確答案——测量之前不能这样问，这不是经典问题。

他知道这句话。

他能把这句话写出来。

但他没有真正接受它。

他心里有一个声音一直在说，它肯定走了一条，只是我不知道。

他知道这个声音是错的。

可他压不住它。

他试过用教材上的措辞说服自己，试过用不同老师的讲解，试过从数学上绕回来。

都没用。

那个声音还在那里。

它走了一条，我只是不知道。

他在概念本上写。

【我知道这样想是错的，但我不知道怎么停止这样想。】

写完，他看了一会儿，没有继续往下写。

第三十年，他去做了一件有点傻的事。

他从头把测量那一节的数学部分全部推了一遍。

不是第一次推，是第十七次还是第十八次，他数不清了。

这一次，他没有急著找概念上的落脚点，只是一行一行地往下走，看数学本身在说什么。

算符，本徵態，本徵值，概率幅，投影……

走到一半，他忽然想起以前学矩阵的时候。

矩阵乘法，刚学的时候，他对行乘列这件事完全没有直觉，纯靠背规则。

后来他学到矩阵表示线性变换，把矩阵和空间里的拉伸旋转联繫起来，才慢慢有了一点感觉。

但那个感觉也不是一下子来的，是他把同一件事算了很多遍，某次算的时候忽然感觉顺了一些。

他不知道为什么顺了，那个顺本身也没持续多久，但確实有过。

量子力学的测量，也许也是这样。

也许不是靠想明白，是靠算到一定程度，某天感觉就顺一点了。

他把这件事记下来，然后继续算。

第三十年秋到第三十一年，江临在做一件他自己都觉得有点笨的事。

他把量子力学基础题库里所有他做过的题，按错误类型重新分类。

分了五类。

第一类：套错公式。

第二类：概念用对了，计算抄错了。

第三类：用了一个听起来有道理但实际上错误的类比。

第四类：会算步骤，但不知道步骤在做什么。

第五类：根本不知道从哪里开始。

第三类和第四类最多。

他盯著这两类看了很久。

第三类很好理解，他已经吃过发芽种子的亏。

第四类更麻烦。

会算步骤但不知道在做什么，这种题他以前会当成对了，因为答案確实出来了。

但这种题是最危险的。

换一道题，步骤变了，他就又不会了。

他开始针对第四类题，逼自己在每一步旁边写一句话，这一步在做什么。

不是写公式名称，是写它在做什么。

比如，归一化那一步，他写，让所有地方找到粒子的概率加起来等於一，不然概率就不是概率了。

比如，取模方那一步，他写，把复数变成实数，因为概率不能是复数。

这些话写起来很笨，他有时候写到一半，觉得自己在解释一件很傻的事。

但写完再回头看，他发现这些笨话比他之前那些漂亮类比有用得多。

第三十二年，他第一次做完了自己筛出来的那一批基础题，正確率勉强过七成。

他翻到最后一道题，把答案填上，合上文件。

没有什么特別的感觉。

不是因为不在乎，是因为太累了。

那天下午，他去浇了南侧黄豆，把蓄水坑的泥沙清了一遍，吃了饭，睡觉。

第二天早上，他翻开概念本，想写点什么。

他坐了好久，想了好久，憋出来一句话。

【量子力学基础题，七成了。】

然后他停了一下，又加了一行。

【不知道算不算入门？应该还差很远，但比第二十一年强了。】

写完，他说不清楚是什么滋味。

不是高兴，或者不只是高兴。

是有一种很旧的什么东西，悄悄鬆动了一下。

他用了十二年，才从感觉自己懂了，走到了真的能做七成的题。

这十二年里，他犯过的最多的错误，不是不努力，不是方法不对，是他很多次以为自己懂了，但实际上只是懂了一层皮。

然后用那层皮在废土里活了好几年，没出什么大问题，反而让他越来越確信自己懂了。

一直到做题，一直到那颗发芽的种子。

他翻到概念本很早以前的那一页，找到那颗被划掉的种子。

铅笔画的，已经有点淡了，但还能看见。

一颗发芽的种子，旁边写著叠加態：粒子同时在好几个地方，测量之后坍缩到一个地方。

他看了一会儿。

这句话现在看起来错得很明显。

但二十二年的那个他，写这句话的时候，真的觉得自己想通了。

这不是愚蠢。

这是他那时候能做到的最好程度。

他在那颗种子旁边，补写了一行小字。

【这是第二十二年的理解，那时候我以为懂了。】

写完，合上本子。

第三十二年冬，他翻开了量子力学进阶部分的第一个文件。

角动量。

轨道角动量算符，量子化，l和m量子数，球谐函数……

他看了第一段，皱了皱眉。

这里的数学比基础部分复杂，而且有一些他还没见过的东西。

他打开空白文档，在顶部写。

【量子力学进阶，第一轮，第一节，角动量。】

【预计会很久。】

【先把不懂的词都列出来，再一个个查。】

然后开始列。

第一个词，球谐函数。

他不知道这是什么。

他打开另一个文件，搜了一下，找到球谐函数的定义，看了一遍，没懂。

他在空白文档里写。

【球谐函数：暂时不懂。先放著，继续往后看。】

他已经学会了不在第一个不懂的词上死磕。

有些东西看多了自然就懂了，有些东西需要先看后面才能回来懂前面。

他不知道球谐函数属於哪种。

所以先放著。

继续往后。

角动量第一节，看了三遍，大概只有一半明白。

他把不懂的地方全部画了出来，列成清单，存到文件里。

清单有九条。

他看了一遍，在最下面写。

【今天：九个不懂。】

【明天：爭取变成八个。】

然后他关掉电脑，把明天的维护清单写完。

第一项：检查蓄水坑水位。

第二项：清理太阳能板板面。

第三项：量子力学进阶第一节，继续啃。

第四项：给南侧三垄黄豆补水。

写完，他看著这张清单，忽然觉得有什么东西很稳。

不是量子力学变简单了。

是他不再以为它会变简单了。

他已经知道，这条路会很长，会很慢，会有很多次以为懂了但其实没懂。

下一次大概还会有颗新的种子，在某个他没注意到的地方悄悄画下去，等他三年后回来划掉。

他接受这件事了。

不是喜欢，是接受。

再怎么慢，黄豆还是要浇水。

量子力学，明天继续啃。